技術資料 一般編 9

配管内を流れる流体の流量と圧力の関係                                                          戻る

                   流量と圧力の関係 (液体の場合)

配管内を流れる流体の流量と流速の関係は

       Q=C×A×V   で表せます。

ここで、Q:流量  C:流出係数  A:流路面積  V:流速

       V=(2×P÷ρ)^0.5     ベルヌーイの定理の応用より

       Q=C×A×(2×P÷ρ)^0.5     P:圧力、差圧(パスカル)   ρ(ロー):流体密度


液体の場合を考えてみると

内径150mmの水平配管に、100m3/h の流量で水が流れていて、その時の配管内の圧力が 100kPa(G)
とし、配管下流にバルブが設置されていてバルブの2次側が大気開放されているとします。
配管内の圧力が 200kPa(G) に上昇した場合の流量はいくらになるか?


配管の下流側の負荷(抵抗)は変わらず、配管2次側のバルブを操作しないとして考え
Q=C×A×(2×P÷ρ)^0.5 式の Q=100m3/h   P=100kPa(G)   ρ=1000kg/m3
を代入することで求められます。ここで C 、 A  、 2   の項は一定と考え、式から省きます。

流量Qは(P÷ρ)^0.5 に比例します、つまり圧力Pの平方根に比例し、密度ρの平方根
に反比例します。

配管下流側の負荷(抵抗)は変わらないとすると、圧力Pは配管内の圧力の変化として考えること
ができるので、上昇した圧力 200kPa(G) と元の圧力 100kPa(G) の比として考えることができます。

つまり、200÷100 = 2    圧力Pが2倍になったことになります。

流量Qは圧力Pの平方根に比例するので、√2 = 1.4142 になり、流量は 1.4142 倍になります。

水の密度ρは圧力が変わっても変わらないのでρ(ロー)の項は計算は不要となります。

圧力が200kPa(G)に上昇した時は Q=C×A×(2×2÷ρ)^0.5  となり
流量は 100m3/h  ×  1.4142   = 141.42  m3/h  になります。

このときの流速 V は、V=(2×P÷ρ)^0.5     ベルヌーイの定理より、圧力が2倍になるので
流速 V は √2 = 1.4142 、流速は 1.4142倍になります。


(水平配管内を流れる水の圧力変化による流量変化を考え、位置エネルギー及び粘性の影響
は無いものとして考えた場合です。)




配管内を流れる水の圧力と流量の関係は上のグラフになります。
流量は圧力の平方根に比例し、圧力は流量の2乗に比例します。
流量を2倍に増やすには圧力を4倍にする必要があります。
流量を1/2(半分)にするには圧力を1/4にします。

 

                    
                   流量と圧力の関係 (気体の場合)


配管内を流れる流体の流量と流速の関係は

       Q=C×A×V   で表せます。

ここで、Q:流量  C:流出係数  A:流路面積  V:流速

       V=(2×P÷ρ)^0.5     ベルヌーイの定理の応用より

       Q=C×A×(2×P÷ρ)^0.5     P:圧力、差圧(パスカル)    ρ(ロー):流体密度


気体の場合を考えてみると

内径50mmの配管に 10kPa(G) の圧力で空気が流れていて、その時の温度が 20℃とし、配管
下流側が大気に開放されているとします。
配管内の圧力が 50kPa(G) に上昇した場合の流量はいくらになるか? 温度は20℃で同じとする。

流出係数は変化がないとして=0.7として考える。

Q=C×A×(2×P÷ρ)^0.5 P差圧は配管内圧力と大気圧との差であるので10kPa 
を代入することで求められます。ここで C 、 A 、 2   の項は一定と考え、式から省きます。

流量Qは(P÷ρ)^0.5 に比例します、つまり圧力Pの平方根に比例し、密度ρの平方根に反比例します。

配管下流側の負荷(抵抗)は変わらないとすると、圧力Pは配管内の圧力の変化として考えること
ができるので、上昇した圧力 50kPa(G) と元の圧力 10kPa(G) の比として考えることができます。

気体は圧縮性流体のために、密度は圧力Pが変わると変化しますので、それぞれの圧力の
密度を計算します。
空気の密度計算をすると、空気の密度は 1.293 kg/m3(ntp)     温度0℃、大気圧状態

10kPa(G)   20℃の状態での空気密度は
1.293×(273.2×(101.3+10))÷((273.2+20)×101.3) = 1.32373  kg/m3(op)   となります。

50kPa(G)   20℃の状態での空気密度は
1.293×(273.2×(101.3+50))÷((273.2+20)×101.3) = 1.79947  kg/m3(op)   となります。

(P÷ρ)^0.5 に代入すると
圧力10kPa(G)のときは、(10÷1.32373)^0.5 = 2.74852
圧力50kPa(G)のときは、(50÷1.79947)^0.5 = 5.27124
となり、圧力が 50kPa(G)に上昇すると、5.27124÷2.74852=1.9178倍となります。

ただし、ここで圧縮、膨張による熱の影響は無いものとして考えています。
 


 
このときの、空気を大気圧状態での流量(ノルマル流量) m3/h(ntp) に換算してみると
下のグラフになります。



この配管内のオペレーション流量 m3/h(op) を計測するのは”やっかい”でして、流速計などで流速
を計測するか、タービンメータで計測するとか、かなりの機器を必要とします。


ノルマル流量Q(ntp)   m3/h(ntp)  と  オペレーション流量Q(op)  m3/h(op) の関係は

Q(ntp) =  Q(op)  ×  (  ρ(op)   ÷ ρ(ntp) )

Q(op) = Q(ntp) × ( ρ(ntp) ÷ ρ(op) )

上で述べた気体の圧力と流量の関係は下流側、上流側の圧力比(下流側/上流側)が臨界圧力比
に達しない範囲でのことで、臨界圧力比以下のように流れがチョークするような流速が早い場合
は含まれません。(空気の場合の臨界圧力比:約0.53)

 

圧力配管内を流れる水の流量の計算

基本式     Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5

                Q:流量(m3/sec)
                C:流出係数(約0.6〜0.8)
                A:流路面積(m2
                P:圧力、差圧 (Pa)
                ρ:水の密度(kg/m^3)

例1.
内径100mmの配管内の圧力が0.1MPa(G)として、配管の下流側が大気開放されているとき
配管を流れる水の流量はいくらか? 配管の長さによる摩擦抵抗は無視して考えた場合。


Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5   基本式

 =0.7×0.007854×(2×100000/1000)^0.5
 =0.7×0.007854×14.142
 =0.07775 (m3/sec)
 =279.9  (m3/h)

内径100mmの配管の内径面積は 0.007854m2、流出係数 0.7  、0.1MPa(G)=100000 Paとして計算
このときの流速は 9.896 m/sec とかなり大きな値である。一般的にはこのような
配管の使用方法は少ないだろうが、実際に流すと 100mm の配管出口側はジェット水流
のように吐出するだろう。

この流速で配管長さを 10m にした場合には約8600mmAq(84.3kPa)、配管長さを 100m にした場合
は約86000mmAq(843kPa)の圧力損失となるために、配管長さを 100m にした場合に、元圧は
0.1 MPa(G) + 0.843MPa  = 0.943 MPa(G) 以上必要になることになる。

ポンプなどで送る場合にはパワーのあるポンプが必要になることが判る。

(上の例は大まかな計算なので、参考程度にみてください、問い合わせには応じられません。)


例2.
内径13mmの水道管内の圧力が0.2MPa(G)として、配管の下流側が大気開放されているとき
配管を流れる水の流量はいくらか? 配管の長さによる摩擦抵抗は無視して考えた場合。

Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5   基本式

 =0.7×0.0001327×(2×200000/1000)^0.5
 =0.7×0.0001327×20
 =0.0018578 (m3/sec)
 =6.688   (m3/h)

内径13mmの水道管の内径面積は 0.0001327m2、流出係数 0.7  、0.2MPa(G)=200000 Paとして計算
この例は一般家庭の水道管でどのくらいの水量が出るのか? 計算してみたが、一般家庭の蛇口
を全開にしても 6.688 m3/h は流れないと考えられる。
これは蛇口を全開にしても 13mm の内径相当の開口面積はないと推測でき、蛇口(バルブ)は
栓構造をしていて、グローブバルブ(ノンフルボア)に近い構造のために 100% 開口に相当しない。

また一般家庭の水道管の元圧も一定でなく、立地条件による高低差、家庭ごとの配管設置条件による
圧力損失によって蛇口を全開にしたときの圧力は 0.1 〜 0.2 MPa(G) 程度ではないだろか?
水道本管の元圧は 0.3 〜 0.5 MPa(G) 程度ありそうだが。

一般家庭の蛇口を全開にしたときの水量は、おおよそ 3 m3/h 程度なのではないだろうか?

Q=0.7×0.000063617×(2×200000/1000)^0.5
 =0.7×0.000063617×20
 =0.00089064 (m3/sec)
 =3.2         (m3/h)

圧力が 0.2 MPa(G) とした場合は、蛇口全開の開口面積は 約 9mm に相当する水量になる。
内径 9mm の開口面積 0.000063617 m2

この時の流速は 6.7 m/sec になり配管長さを 10m にした場合には約 345kPaの圧力損失となるため
元圧は 0.2 MPa(G) + 0.345MPa  = 0.545 MPa(G) 以上必要になることになる。


水道本管の元圧が 0.5 MPa(G) あったとしても、配管長さが 10m あると、圧力損失が 0.345MPaあるので、0.5 - 0.345 = 0.155 MPa(G) の圧力しか加わらないので、蛇口を全開にしても、2.82 m3/h の流量しか流れない。これが、配管の長さによる圧力損失を加味して計算した場合である。

家庭の水道管 13mm の場合に、蛇口を全開にした場合に 2.8 〜 3.2 m3/h の流量は妥当なところ
ではないだろうか。


なお、一般家庭の水道管の口径は 25mm  20mm  13mm  があり、基本料金、メータが異なる
ようなので、試しに計算する場合は自宅の水道管の口径(サイズ)をご確認ください。


配管の摩擦圧力損失については、Darcy weisbach  ダルシー・ワイスバッハの式 で求められます。

配管の摩擦圧力損失は配管の長さに比例し、流速の2乗に比例します。配管の長さが2倍になると
圧力損失も2倍に、流速が2倍になると圧力損失は4倍になります。


(上の例は大まかな計算なので、参考程度にみてください、問い合わせには応じられません。)
 

圧力配管内を流れる空気(気体)の流量の計算

基本式     Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5

                Q:流量(m3/sec)
                C:流出係数(約0.6〜0.8)
                A:流路面積(m2
                P:圧力、差圧 (Pa パスカル)
                ρ:空気の密度(kg/m^3)


内径100mmの配管内の圧力が0.2MPa(G)で温度が25℃の場合に、配管の下流側に負荷が無いと考えたとき、配管を流れる空気の流量はいくらか? 配管の長 さによる摩擦抵抗は無視して考えた場合。


Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5

               あらかじめ、内径100mm の配管内径面積 A:流路面積を計算する。
                       A= 0.007854m2
                               

               あらかじめ、圧力0.2MPa(G)、温度 25℃の空気の密度を計算する。
                       ρ= 3.523 kg/m^3

                       圧力0.2MPa(G) = 200000 Pa

                       流出係数を 0.7 とした場合


Q=0.7×0.007854×(2×200000/3.523)^0.5

 =0.7×0.007854×336.96

 =1.8525  (m^3/sec)

 =6669  (m^3/h)        このときの流速Vは 235.8 m/sec  であり臨界に達していない。


この、6669 m^3/h   は操業状態(圧力0.2MPaG、温度25℃)の体積流量であるので、基準状態
(圧力1atm、温度0℃)の体積流量に換算すると。

Qntp = Qop  × (ρop  / ρntp)

    = 6669 × (3.523 / 1.293)

    = 18171    m^3/h(ntp)

この例は配管2次側が大気開放での計算であり、実際の配管では
このような使用方法はないだろうが、実際に流すと 100mm の配管出口側はスゴイ勢いで空気が噴出するだろう。

(上の例は大まかな計算なので、参考程度にみてください、問い合わせには応じられません。)
 

圧力配管内を流れる飽和蒸気の流量の計算

基本式     Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5

                Q:流量(m3/sec)
                C:流出係数(約0.6〜0.8)
                A:流路面積(m2
                P:圧力、差圧 (Pa パスカル)
                ρ:飽和蒸気の密度(kg/m^3)


内径100mmの配管内の圧力が0.2MPa(G)の飽和蒸気で、配管の下流側に負荷が無いと考えたとき
配管を流れる飽和蒸気の流量はいくらか?
配管の長さによる摩擦抵抗及び温度による熱膨張は無視して考えた場合。


Q=CA×(2×P÷ρ)^0.5

               あらかじめ、内径100mm の配管内径面積 A:流路面積を計算する。
                       A= 0.007854m2
                               

               あらかじめ、圧力0.2MPa(G)の飽和蒸気の密度を求めておく。
                       ρ= 1.658 kg/m^3

                       圧力0.2MPa(G) = 200000 Pa

                       流出係数を 0.7 とした場合


Q=0.7×0.007854×(2×200000/1.658)^0.5

 =0.7×0.007854×491.2

 =2.70  (m^3/sec)

 =9720  (m^3/h)   このときの流速Vは 343.8 m/sec であり、臨界すれすれ?


この、9720 m^3/h   は操業状態(圧力0.2MPaG)の体積流量であるので、質量流量に換算すると。

W = Q  × ρ

   = 9720 × 1.658

   = 16116   (kg/h)


この例は配管2次側が大気開放での計算であり、実際の配管では
このような使用方法はないだろうが、実際に流すと 100mm の配管出口側はスゴイ勢いで蒸気が噴出するだろう。


(上の例は大まかな計算なので、参考程度にみてください、問い合わせには応じられません。)

 

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